recent
أخبار ساخنة

تحويل الكسور العشرية الدورية المتكررة إلى كسور Repeating Decimal to a Fraction

شرح طريقة تحويل العدد العشري الدوري الى كسر عادي

ما هو العدد العشري الدوري؟

العدد العشري الدوري هو عدد ناتج عن قسمة عدد على عدد آخر، مما يعطي في بعض الأحيان عدد عشري ذات مقطع يشمل على عدد أو أعداد متكررة ودورية. وعند محاولة إعادة كتابة ذلك العدد العشري الدوري بصورة كسرية أي بصورة بسط على مقام، قد نجد صعوبة في ذلك الأمر، لأنها تتطلب خوارزمية معينة سنطرق اليها بعد قليل. لذلك، عند تحويل الكسور العشرية المتكررة إلى كسور، ما عليك سوى اتباع الخطوات الأربعة التالية وبعناية.

خطوات تحويل العدد العشري الدوري الى كسر عادي

الخطوة الأولى

افحص الكسر العشري الدوري المكرر للعثور على الرقم (الأرقام) المكرر.
مثل العدد \(0.yyyyyyy\cdots \) أي \(0.\bar{y}\) والذي هو العدد \(y\) في حالتنا تلك.

الخطوة الثانية

دع قيمة س أي \(x\) تساوي الرقم العشري المكرر الذي تحاول تحويله إلى كسر عادي.
كما في المثال \(x=0.yyyyyyyyy\)

الخطوة الثالثة

ضع الرقم (الأرقام) المتكررة على يسار الفاصلة العشرية وذلك بالضرب بالعدد 10 أو مضاعفاتها.
كما في المثال \(10x=y.yyyyyyy\cdots \)

الخطوة الرابعة

وهي الخطوة التي سنتخلص فيها من المقطع المتكرر من العدد الدوري، وذلك باستخدام المعادلتين اللتين وجدتهما في الخطوة 2 والخطوة 3، وطرحهما من بعضهما البعض، أي طرح الجانب الأيسر من المعادلتين، ثم طرح الجانب الأيمن من المعادلتين كما في المثال العام التالي
\begin{matrix} & 10x=y.yyyyyyy\cdots & \\ - & x=0.yyyyyyy\cdots & \\ & -------- & \\ & 9x=y & \end{matrix}
نلاحظ بأن الأمر قد أصبح في غاية البساطة لاستنتاج قيمة العدد \(x\) والذي هو في الواقع يساوي القيمة العددية للعدد العشري الدوري المتكرر \(0.yyyyyyyy\cdots \) والذي يكافئ الكسر \(x=\frac{y}{9}\) لنحصل في نهاية الأمر على عدد مكتوب بصورة بسط على مقام (أي كسر عادي).

ملاحظة: أثناء الطرح، تأكد من أن فرق الطرح لكلا الطرفين موجب.

تدريبات وأمثلة على درس تحويل العدد العشري الدوري الى كسر عادي

لنتدرب الآن على تحويل الكسور العشرية المتكررة إلى كسور باستخدام مثالين جديدين.

مثال 1

ما هو العدد النسبي أو الكسر العادي الذي يكافئ ويساوى العدد العشري الدوري \(0.33333333\cdots \) أي العدد العشري الدوري \(0.\bar{3}\)

الحل:

بالتتبع في الخطوات التي هي في الأعلى نستطيع أن نرى بأن العدد الدوري المتكرر هو العدد 3 في العدد العشري الدوري \(0.33333333\cdots \) وعليه نفرض أن قيمة المتغير \(x\) تساوي العدد العشري \(0.33333333\cdots \) كما يلي
\(x=0.33333333\cdots \)
الآن، وبتحريك الفاصلة العشرية الى اليمين عن طريق الضرب بالعدد 10 نحصل على المعادلة
\(10x=3.33333333\cdots \)
ولا ننسى أنه، عندما نضرب جانباً واحداً في رقم، فعلينا نضرب الطرف الآخر بنفس الرقم لتحافظ على توازن المعادلة.
في الخطوة الأخيرة نقوم بطرح المعادلتين اللتان في الأعلى، وذلك للتخلص من الطرف الدوري المتكرر من الأعداد في العدد العشري الدوري كما يلي:
\begin{matrix} & 10x=3.333333\cdots & \\ - & x=0.333333\cdots & \\ & -------- & \\ & 9x=3 & \end{matrix}
نلاحظ بأن الأمر قد أصبح في غاية البساطة لاستنتاج قيمة العدد \(x\) والذي هو في الواقع يساوي القيمة العددية للعدد العشري الدوري المتكرر \(0.33333333\cdots \) والذي يكافئ الكسر \(x=\frac{3}{9}\) وبتبسيط الكسر والمقام نجد أن الكسر الذي يكافئ العدد الدوري \(0.33333333\cdots \) هو الكسر \(x=\frac{1}{3}\)
أي أن \(\frac{1}{3}=0.333333\cdots\)

مثال 2

ما هو العدد النسبي أو الكسر العادي الذي يكافئ ويساوى العدد العشري الدوري  \(1.024242424\cdots\)  أي العدد الدوري \(1.0\bar{24}\)

الحل:

بالتتبع في الخطوات التي هي في الأعلى نستطيع أن نرى بأن العدد الدوري المتكرر هو العدد \(024242424\) في العدد العشري الدوري  \(1.024242424\cdots\) وعليه نفرض أن قيمة المتغير \(x\) تساوي العدد العشري \(1.024242424\cdots\)  كما يلي
\(x=10.24242424\cdots\)
نلاحظ هنا بأن ليس جميع أقسام العدد متكررة، لذلك يجب أن نتوصل الى طريقة تمكنا من الحصول على الجزء المتكرر على يمكين الفاصلة العشرية. الآن، وبتحريك الفاصلة العشرية الى اليمين حتى نصل الى الجزء الذي يحتوي على العدد المتكرر 24 وذلك عن طريق الضرب بالعدد 10 للحصول على المعادلة
\(10x=10.24242424\cdots\)
وبالعدد 1000 كي نحصل على المعادلة
\(1000x=1024.242424\cdots\)
أيضاً، وكما تم ذكره من قبل، إنه عند ضرب معادلة تشمل على علامة المساواة بعدد، وجب علينا أن نضرب كلا الطرفين بنفس ذلك العدد وذلك للمحافظة على موازنة المعادلة وصحتها.
الآن، وفي الخطوة الأخيرة، نقوم بطرح المعادلتين اللتان في الأعلى، وذلك للتخلص من الطرف الدوري المتكرر من الأعداد في العدد العشري الدوري كما يلي:
\begin{matrix} & 1000x=1024.24242424\cdots & \\ - & 10x=10.242424\cdots & \\ & -------- & \\ & 990x=1014 & \end{matrix}
نلاحظ بأن الأمر قد أصبح في غاية البساطة لاستنتاج قيمة العدد \(x\) والذي هو في الواقع يساوي القيمة العددية للعدد العشري الدوري المتكرر \(1.0242424\cdots \) والذي يكافئ الكسر \(x=\frac{1014}{990}\) وبتبسيط الكسر والمقام نجد أن الكسر الذي يكافئ العدد الدوري \(1.024242424\cdots \) هو الكسر \(x=\frac{169}{165}\)
أي أن \(\frac{169}{165}=1.024242424\cdots\)

أخطاء شائعة يجب تجنبها عند تحويل الكسور العشرية المتكررة الدورية إلى كسور عادية

1- نسيان وضع الفاصلة العشرية مباشرة قبل الرقم أو الأرقام المتكررة أثناء الحل.
2- عند طرح المعادلتين، ننسى طرح المعادلتين الأصغر من الأكبر.
3- عدم الحفاظ على المكان الصحيح للفاصلة العشرية وذلك نتيجة للضرب الخاطئ بمضاعفات العدد 10 أو لعدم اختيار المضاعف الصحيح مثل العدد 100 أو 1000 أو ...
4- فصل العدد المتكرر بالكام من العدد العشري الدوري، والتعامل معه على أساس أنه عدد آخر.  
وأخيراً، لإتقان هذا الدرس حول تحويل الكسر العشري الدوري المتكرر إلى كسر عادي، يجب دراسة المثالين أعلاه بعناية والتدرب على أمثلة أخرى.

قائمة المصادر والمراجع References

1- Fractions, Decimals, & Percents Math Workbook (Includes Repeating Decimals): Improve Your Math Fluency Series Workbook Edition, Chris McMullen.

2- Converting Fractions to Decimals Volume II - Math 5th Grade Children's Fraction Books, Baby Professor.

google-playkhamsatmostaqltradent