recent
أخبار ساخنة

المصفوفات في الرياضيات Matrices in Mathematics

 

ما هي المصفوفة في الرياضيات؟

تعرف المصفوفة على أنها ترتيب للأعداد إما على شكل مربع أو على شكل مستطيل، ويسمى كل عدد بداخلها بالعنصر Element. أي أن جميع مدخلات المصفوفة تسمى عناصر تلك المصفوفة. تكون مجموعة تلك العناصر مرتبة على شكل صفوف وأعمدة Rows & Columns

حيث أنه يتم الرمز والاشارة الى تسمية المصفوفة بالأحرف الكبيرة، وعلى عناصرها بالأحرف الصغيرة كما يلي:

\(A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\  \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{bmatrix}\)

حيث أن العنصر \(a_{ij}\) هو العنصر في المصفوفة \(A\) والموجود في الصف \(i\) والعمود \(j\).

مثال (1)

ما هي قيم كل من العناصر \(a_{32}\)، \(a_{23}\)، \(a_{12}\) و \(a_{34}\) من المصفوفة التالية

\(A=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7\\ -2 & 4 & 8 & 0 \\  4 & 9 & -2 & 3 \end{bmatrix}\)

الحل:

 نلاحظ أن العنصر \(a_{12}\) يشير الى العدد الموجود في الصف الأول والعمود الثاني. والعنصر \(a_{23}\) يشير الى العدد الموجود في الصف الثاني والعمود الثالث. والعنصر \(a_{32}\) يشير الى العدد الموجود في الصف الثالث والعمود الثاني. والعنصر \(a_{34}\) يشير الى الصف الثالث والعمود الرابع. وعليه تكون القيم  \(a_{12}=3\)، \(a_{23}=8\)، \(a_{32}=9\)، \(a_{34}=3\)

كيف نقيس حجم المصفوفة؟

نشير الى حجم المصفوفة بعدد الصفوف وعدد الأعمدة. فالمصفوفة المكونة من \(m\) من الصفوف و \(n\) من الأعمدة تكون حجمها \(m \times n\).

مثال (1)

ما هي أحجام المصفوفات التالية:

\(A=\begin{bmatrix} -2 & 4 & 8 & 0\\ 1 & 3 & 5 & 7 \\  4 & 9 & -2 & 3 \end{bmatrix}\) ، \(B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 3 & 9 \\  \end{bmatrix}\) ، \(C=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ -2 & 4 & 8\\  4 & 9 & -2  \end{bmatrix}\)

الحل:

كما نلاحظ، فإن المصفوفة \(A=\begin{bmatrix} -2 & 4 & 8 & 0\\ 1 & 3 & 5 & 7 \\  4 & 9 & -2 & 3 \end{bmatrix}\) تمتلك ثلاثة صفوف وأربعة أعمدة، أي أن \(n=4 ,m=3\) وعليه يكون حجم المصفوفة تلك هو \(3 \times 4\) وكذلك الأمر بالنسبة الى المصفوفة \(B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 3 & 9 \\  \end{bmatrix}\) والذي حجمها هو \(1 \times 5\)، والمصفوفة \(C=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ -2 & 4 & 8\\  4 & 9 & -2  \end{bmatrix}\) ذات الحجم \(3 \times 3\).

ما هي المصفوفة المربعة والمصفوفة المستطيلة (غير المربعة)؟

يطلق على المصفوفة التي عدد أعمدتها يساوي عدد صفوفها بالمصفوفة المربعة أي عندما \(n=m\)، وعلى العكس تماماً يطلق على المصفوفة التي عدد أعمدتها لا تساوي عدد الصفوف فيها بالمصفوفة غير المربعة كما في المثال التالي

\(A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\  \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{nn} \end{bmatrix}\)

لاحظ أن العناصر \(a_{11},a_{11},...,a_{nn}\) تقع على القطر الرئيسي للمصفوفة المربعة.

متى تتساوى المصفوفتين وما هي حالات وشروط التساوي في المصفوفات؟

يمكن القول أن المصفوفة A تساوي المصفوفة B إذا وفقط إذا تحقق الشرطين التاليين:

1- حجم المصفوفتين متساوي أي لهما نفس الحجم.

2- إذا كان \(a_{ij}=b_{ij}\) لجميع قيم \(i,j\).

حيث يمكن كتابة كل من المصفوفتين A و B على الصورة المختصرة \(A=(a_{ij})\) و \(B=(b_{ij})\)

قائمة المصادر والمراجع References 

1- David S Watkins, Fundamentals of matrix computations, 1991.

2- Hans Schneider, Matrices and Linear Algebra, 1968.

 

google-playkhamsatmostaqltradent