recent
أخبار ساخنة

تقدير وسط المجتمع بنقطة Point Estimate of the Population Mean

العلم للجميع

كيف يتم تقدير وسط المجتمع بنقطة؟

من المنطقي أن نقدر وسط المجتمع بوسط العينة التي نأخذها من، فإذا كان وسط المجتمع m فمن الطبيعي والمنطقي أن نقدر  \( \mu  \)  بواسطة وسط العينة \( \bar{x}  \).

وبما أن توزيع المعاينة للإحصاء \( \bar{x}  \) يتمركز حول  \( \mu  \) حيث \( E(\bar{x}) = \mu  \) وأن تباين \( \bar{x}  \) هو  \( \frac{\sigma ^{2}}{n} \) حيث \(\sigma ^{2}\) هو تباين المجتمع، n حجم العينة، وأنه في معظم الأحيان نجد أن هذا التباين أصغر من تباين أي مقدر آخر. 

لذا فإن القيمة \( \bar{x}  \) ستستعمل كتقدير نقطي لمعدل المجتمع \( \mu  \) ولما كان تباين \( \bar{x}  \) هو \( \frac{\sigma ^{2}}{n} \) فهذا يعني أن تباين توزيع المعاينة للإحصاء  \( \bar{x}  \) يكون صغيراً، وخاصة عندما تكبر قيمة العينة المسحوبة من المجتمع n. لذلك، من المتوقع أن تكون القيمة \( \bar{x}  \) تقديراً دقيقاً لمعدل المجتمع \( \mu  \).

تعريف التقدير بنقطة (التقدير النقطي)

يعرف التقدير بنقطة أو التقدير النقطي لمعلة مجتمع على أنها قيمة عددية مفردة تقدَّر بها تلك المعلمة. ولتبسيط التعريف السابق سنأخذ المثال التالي.

مثال (1)

يريد أحد الأشخاص تقدير عدد الكلمات في كتاب ما. لذلك، قام بأخذ عينة من 5 صفحات عشوائية ثم قام بعد الكلمات الموجودة في كل من تلك الصفحات، فكانت أعداد الكلمات في الصفحات العشوائية الخمسة هي على النحو التالي:

250 ,300 ,350 ,230 ,220

كم تقدر عدد الكلمات للصفحة الواحدة (أي \( \mu  \) ) للكتاب الذي أخذت منه العينات؟ وإذا كان الكتاب يحتوي على 500 صفحة، فكم تقدر عدد الكلمات فيه؟

الحل:

كما نلاحظ، فإن حجم العينة المختارة هي 5 ووسط تلك العينة هي

\(\bar{X} =\frac{220+230+350+300+250}{5} =270 \)

إذن تقدر وسط عدد الكلمات في الصفحة الواحدة \( \mu  \) بالوسط الحسابي لتلك العينة وهي \( \bar{x} =270 \) ، بينما يكون تقدير عدد الكلمات في الكتاب = تقدير عدد الكلمات في الصفحة الواحدة × عدد الصفحات أي 270 × 500 = 135000 كلمة تقريباً يوجد في ذلك الكتاب.

مثال (2)

لتقدير وسط المصروف الشهري بالدولار لدى طلاب كلية الرياضيات، أخذت عينة عشوائية من أولئك الطلاب حجمها 10 طلاب، فلوحظ أن مصروفهم الشهري هو على النحو التالي:

40, 50, 45, 30, 20, 50, 14, 35, 38, 42

ما هو تقدير وسط المصروف الشهري لكافة طلاب قسم الرياضيات؟

الحل:

تقدر وسط المصروف الشهري للعينة التي تم اختيارها وحجمها 10 طلاب. حيث نحسب وسط العينة وهو

\(\bar{X} =\frac{40+50+45+30+20+50+14+35+38+42}{10} =36.4 \)

ومنه نستطيع أن نقدر أن وسط المصروف الشهري لطلبة الجامعة هو المقدار 36.4 دولاراً.

مثال (3)

لمعرفة وسط عدد الأيام التي يقضيها النزلاء في إحدى الفنادق، قام مدير الفندق بأخذ عينة عشوائية بحجم 40 سجل من سجلات النزلاء في ذلك الفندق فلاحظ أن وسط عدد أيام إقامة النزلاء من تلك العينة هو 4.5 يوماً. ما هو وسط عدد الأيام التي يقضيها الزبائن أو النزلاء في ذلك الفندق؟

الحل:

كما نلاحظ فإننا نستطيع أن نستخدم وسط العينة كتقدير نقطي لوسط المجتمع، مما يعني أن وسط عدد الأيام التي يقضيها النزلاء في ذلك الفندق هي 4.5 يوماً، والذي هو بالطبع وسط العينة التي تمت دراستها.


قائمة المصادر والمراجع References 

1- Walpole, Mayers, Mayers, Probability & Statistics for Engineers and scientists, sixth Edition, 1998.

2- Medenhall, W, Introdution to Probability and Statistics, Duxbury press, 1983.

google-playkhamsatmostaqltradent