recent
أخبار ساخنة

تقدير وسط المجتمع بفترة Interval Estimation of the Mean

 

ما هي طريقة تقدير وسط المجتمع بفترة؟

إن تقدير وسط المجتمع بفترة هو عبارة عن إيجاد تقدير نقطي لوسط المجتمع أولاً ومن ثم استعمال هذا المقدار لإيجاد قيمتين تعتمدان على التوزيع الاحتمالي لهذا المقدار وعلى معامل الثقة، وبالتالي تمثل هاتان القيمتان الحد الأدنى والحد الأعلى لفترة الثقة المطلوبة.

فإذا كان وسط المجتمع \(\mu \) غير معلوم، وأردت إيجاد فترة ثقة للمعلمة \(\mu \) فإنك تستعمل وسط العينة \(\bar{x} \) كتقدير نقطي للمعلمة \(\mu \) وتستعمل توزيع المعاينة للإحصاء \(\bar{x} \) لتحدد الحد الأدنى والحد الأعلى لفترة الثقة المطلوبة.

فإذا كانت العينة المدروسة من مجتمع طبيعي تباينه معلوم أو في حالة عدم تحقق ذلك، إذا كان حجم العينة n كبيراً فإن توزيع المعاينة للإحصاء \(\bar{x} \) هو التوزيع الطبيعي أو تقريباً التوزيع الطبيعي ذي الوسط \(\mu \) والتباين \(\frac{\sigma ^{2}}{n}\) وفي هذه الحالات تستطيع إيجاد فترة ثقة للوسط \(\mu \) من العبارة الاحتمالية التالية:

 \( P(-Z_{\frac{\alpha }{2}}<Z<Z_{\frac{\alpha }{2}}) \)

والقيمة Z تعطى بالعلاقة التالية

\(Z=\frac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n})}\)

حيث أن \(Z_{\frac{\alpha }{2}} \) هي عبارة عن  النقطة على المحور الأفقي لمنحنى التوزيع الطبيعي المعياري والذي يقع الى يمينه القيمة \(\frac{\alpha}{2}\) من المساحة كما في الشكل التالي:

 

ومن المعادلة السابقة تجد فترة الثقة ذات معامل ثقة \(1-\alpha \) للوسط \(\mu \) ، ونسميها فترة ثقة \((1-\alpha) \) × 100%  كما يلي:

أولاً: فترة ثقة للوسط \(\mu \) إذا كان الانحراف المعياري \(\sigma \) معلوماً

إذا كان \(\bar{x} \) الوسط الحسابي لعينة عشوائية حجمها n من مجتمع طبيعي تباينه \(\sigma^{2}\) معلوماً، فإن فترة ثقة \((1-\alpha) \) × 100%  للمعلمة \(\mu \) تكون:

\(\bar{x}-Z_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\mu<\bar{x}+Z_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

حيث \(Z_{\frac{\alpha }{2}} \) هي النقطة على المحور الأفقي لمنحنى التوزيع الطبيعي المعياري والتي يقع الى يمينها المساحة \(\frac{\alpha}{2}\).

مثال (1)

أوجد فترة ثقة \(\%95\) للوسط الحسابي \(\mu \) في مجتمع طبيعي تباينه 81 علماً أن اختيار العينة تم عشوائياً، حيث أن حجم تلك العينة 8، وكان وسطها الحسابي \(\bar{x}=52\)؟

الحل:

 كما نعلم من المعطيات أن فترة الثقة هي \(\%95\) وعليه يكون \(1-\alpha = 0.95\) 

إذن، \(\frac{\alpha}{2}=0.025\) وبالتالي \(Z_{\frac{\alpha}{2}}=1.96\) باستخدام جدول التوزيع الطبيعي. الآن، وبالتعويض في فترة الثقة، تجد أن فترة \(\%95\) ثقة للوسط \(\mu \) هو

\(52-1.96\times \frac{9}{\sqrt{8}}<\mu<52+1.96\times \frac{9}{\sqrt{8}}\)

ومنه تكون فترة الثقة \(\%95\) للفترة \(\mu \) هي

\(45.7633<\mu<58.2369\) 

مثال (2)

أخذت عينة عشوائية بحجم 36 من مجتمع طبيعي انحرافه المعياري \(\sigma=6\)، فأعطت المعدل \(\bar{x}=70 \). أوجد فترة ثقة 98% لوسط المجتمع \(\mu \)؟

 الحل:

بما أن \(1-\alpha = 0.98\) إذاً فـ \(\frac{\alpha}{2}=0.01\) وعليه تكون القيمة \(Z_{\frac{\alpha}{2}}=2.33\) وبالتعويض في فترة الثقة:

\(\bar{x}-Z_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\mu<\bar{x}+Z_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

تجد أن فترة الثقة 98& للوسط \(\mu \) هي:

\(70-2.33\times \frac{6}{\sqrt{36}}<\mu<70+2.33\times \frac{6}{\sqrt{36}}\)

وعند حساب النواتج والتبسيط تكون فترة الثقة المطلوبة هي:

\(67.67<\mu<72.33\)

ثانياً: فترة ثقة للوسط \(\mu \) إذا كان الانحراف المعياري غير معلوماً

في بعض الأحيان قد لا يتم اعطائنا معلومات عن قيمة الانحراف المعياري للمجتمع \(\sigma \)، لذلك نستخدم الرمز \(s\) أي الانحراف المعياري للعينة شريطة أن تكون حجم العينة المأخوذة كبيرة (أي \(n>30\))، وفي هذه الحالة تكون فترة الثقة \((1-\alpha) \) × 100% للوسط \(\mu \) هي

\(\bar{x}-Z_{\frac{\alpha }{2}}\frac{s}{\sqrt{n}}<\mu<\bar{x}+Z_{\frac{\alpha }{2}}\frac{s}{\sqrt{n}}\)

والمثال التالي يوضح المبدأ.

مثال (3)

عينة عشوائية من مجتمع طبيعي حجمها n = 144 أعطت الانحراف المعياري s = 6 ووسط حسابي \(\bar{x} \) بقيمة 74، أوجد فترة ثقة 98% لوسط المجتمع \(\mu \)؟

الحل:

من الواضح أن تباين المجتمع \(\sigma^{2}\) غير المعلوم، لكن حجم العينة أكبر من 30 ولذلك تستعمل s بدلاً من \(\sigma \) كما المعادلة أعلاه.

ومن الواضح أن \(1-\alpha = 0.98\) ولذلك \(\frac{\alpha}{2}=0.01\) ومن جدول الطبيعي المعياري تجد \(Z_{0.01}=2.33\).

بالتعويض في فترة الثقة المعطاة في الأعلى تصبح:

\(74-2.33\times \frac{6}{\sqrt{144}}<\mu<74+2.33\times \frac{6}{\sqrt{144}}\)

وبالاختصار تحصل على

\(72.8350<\mu<75.1650\)

فترة ثقة 98% لوسط المجتمع \(\mu \).

مثال (4)

إذا كان الوسط الحسابي والانحراف المعياري لمعدلات عينة عشوائية مؤلفة من 36 طالباً في إحدى المدارس هي \(\bar{x}=66.3 \) ، \(s=12\). فأوجد فترة ثقة 95%، ثم أوجد فترة ثقة أخرى بمقدار 99% لمعدل جميع الطلبة إذا افترضنا أن علامات الطلبة تخضع لتوزيع طبيعي؟

الحل:

كما نلاحظ، أن تباين المجتمع غير معلوم، لكن مقدار العينة n كبيرة، وبالتالي تستطيع تطبيق القانون الذي ذكر في الحالة الثانية.

لإيجاد فترة ثقة \(\%95\) نستنتج أن \(1-\alpha = 0.95\) ومنه \(\frac{\alpha}{2}=0.025\) وعليه تكون قيمة \(Z_{0.025}=1.96\)

وعند التعويض في المعادلة السابقة نجد أن 

\(66.3-1.96\times \frac{12}{\sqrt{36}}<\mu<66.3+1.96\times \frac{12}{\sqrt{36}}\)

وبعد عملية الحساب والتبسيط نجد أن فترة الثقة 95% هي

\(62.38<\mu<70.22\)

لإيجاد فترة ثقة \(\%99\) بالمثل نستنتج أن \(1-\alpha = 0.99\) ومنه \(\frac{\alpha}{2}=0.005\) وعليه تكون قيمة \(Z_{0.005}=2.57\)

وعند التعويض في المعادلة السابقة نجد أن 

\(66.3-2.57\times \frac{12}{\sqrt{36}}<\mu<66.3+2.57\times \frac{12}{\sqrt{36}}\)

وبعد عملية الحساب والتبسيط نجد أن فترة الثقة \(99%\) هي

\(61.16<\mu<71.44\)

وبمقارنة فترة الثقة الأولى \(\%95\) مع فترة الثقة الثانية \(\%99\) تجد أنك تحتاج الى فترة أطول إذا أردت أن تعطي تقديراً أكثر دقة للمعدل \(\mu \)، ففي فترة الثقة الأولى (أي \(\%95\)) تجد أن طول الفترة فيها كان \(70.22-62.38=7.84\). أما في فترة الثقة الثانية (أي \(\%99\)) فكان طول الفترة هي \(71.44 – 61.16 = 10.28\).

ملاحظة:

تعطي فترة الثقة \((1-\alpha)\) × 100% تقديراً لدقة التقدير النقطي، الذي تستعمله.

فالشكل الذي في الأسفل يبين فترة ثقة للمعلمة \(\mu \) ثقتها \((1-\alpha)\)


فإذا كانت \(\mu \) في مركز فترة الثقة فإن ذلك يعني أن استعمالك \(\bar{x} \) كمقدر للوسط \(\mu \) كان بدون خطأ. ولكن إذا كانت \(\mu \) غير واقعة في مركز الفترة فهنالك خطأ في التقدير قد حصل بسبب استعمال \(\bar{x} \) كتقدير للوسط \(\mu \). وقيمة ذلك الخطأ هو الفرق بين \(\mu \) و \(\bar{x} \) حيث أنه من الواضح أن لديك ثقة \((1-\alpha)\) ×100% وأن الخطأ الحاصل من استعمال \(\bar{x} \) كمقدر للمعدل \(\mu \) لا يزيد عن المقدار \(Z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\).

ثالثاً: فترة الثقة لوسط مجتمع غير طبيعي

إذا أخذت العينة التي حجمها n من مجتمع غير طبيعي، فإن بإمكانك استخدام نظرية النهاية المركزية لمعرفة توزيع الوسط، إذا كانت n كبيرة، وبالتالي تكون فترة الثقة \((1-\alpha)\)×100% للمعدل \(\mu \) هي:

\(\bar{x}-Z_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\mu<\bar{x}+Z_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

وفي حالة عدم معرفة \(\sigma \) تستعمل s (الانحراف المعياري للعينة) بدلاً منها، شريطة أن تكون n كبيرة.

مثال (5)

تمت دراسة عينة عشوائية حجمها 100 سيجارة لتقدير وسط النيكوتين في السجائر التي يتم صناعتها، فوجد أن \(\bar{x}=4.2 \) ملغم، و \(s = 0.8 \) ملغم. أوجد فترة ثقة \(\%99\) لوسط النيكوتين في السجائر؟

الحل:

 فترة 99% تعني أن \(1-\alpha = 0.99\) أي أن \(\frac{\alpha}{2}=0.005\) ومن الجداول المعيارية تلاحظ أن قيمة \(Z_{\frac{\alpha}{2}}=2.57\)

وبالتعويض بالمعادلة السابقة، تجد أن

\(4.2-2.57\times \frac{0.8}{\sqrt{100}}<\mu<4.2+2.57\times \frac{0.8}{\sqrt{100}}\)

وعليه تكون فترة الثقة \(\%99\) المطلوبة هي 

\(3.9944<\mu<4.4056\)

مثال (6)

تم قياس أطوال عينة عشوائية مؤلفة من 60 طالباً في إحدى الجامعات، فكان معدل الأطوال \(\bar{x}=171.2\) سم والانحراف المعياري لها 7.5 سم (أي s = 7.5). أوجد فترة ثقة \(\%98\) لمعدل أطوال جميع طلبة الجامعة؟

الحل:

كما نلاحظ أن حجم العينة n كبير أي n=60، وبذلك تستطيع القانون في الحالة الثالثة، وعليه فإن \(1-\alpha = 0.98\) أي أن \(\frac{\alpha}{2}=0.01\) ومن جدول التوزيع الطبيعي \(Z_{0.01}=2.33\) وبالتالي تكون فترة الثقة \(\%98\) هي

\(171.2-2.33\times \frac{7.5}{\sqrt{60}}<\mu<171.2+2.33\times \frac{7.5}{\sqrt{60}}\)

ومنه تكون الفترة المطلوبة هي:

\(168.944<\mu<173.456\)

رابعاً: فترة الثقة للمعدل \(\mu \) إذا كان حجم العينة صغير، والتباين غير معلوم والمجتمع طبيعي

يصدف أنك تحتاج الى إيجاد فترة ثقة لمعدل توزيع طبيعي تباينه غير معلوم وحجم العينة التي يمكن الحصول عليها لدراستها صغيرة أي n < 30. ففي مثل تلك الحالة، يمكنك استعمال النظرية التي تنص على أن توزيع المعاينة للإحصاء \(T=\frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n})}\) هو توزيع t بدرجات حرية عددها \(n-1\).

وفي هذه الحالة تكون فترة الثقة \((1-\alpha)\)×100% للمعدل \(\mu \) معطاة بالفترة ضمن:

\(\bar{x}-t_{\frac{\alpha }{2}}\frac{s}{\sqrt{n}}<\mu<\bar{x}+t_{\frac{\alpha }{2}}\frac{s}{\sqrt{n}}\)

حيث أن \(t_{\frac{\alpha }{2}} \) هي النقطة على المحور الأفقي لتوزيع \(t\) ذي درجات الحرية \(n-1\) والتي يقع الى يمينها \(\frac{\alpha}{2}\) من المساحة، كما في الشكل التالي:

ولإيجاد النقاط الحرجة لتوزيع t، فقد صممت جداول خصيصاً لهذا الغرض. يمثل الرمز \(t_{\alpha}\) قيمة النقطة من توزيع t بحيث تكون المساحة تحت منحنى التوزيع وعلى يمين \(t_{\alpha}\) تساوي \(\alpha\). أي أن \(P(t>t_{\alpha}))=\alpha\) كما في الشكل التالي:


فمثلاً، إذا كانت درجة الحرية 4 فإن وقيمة \(\alpha = 0.05\) فإن

\(t_{0.05}=2.132\)

وبما أن توزيع t متماثل حول الصفر فإن

\(t_{0.95}=-t_{0.05}=-2.132\)

مثال (7)

أخذت عينة عشوائية حجمها 7 من مجتمع طبيعي فأعطت \(\bar{x}=11.2\)، \(s=0.4\)، أوجد فترة ثقة \(\%95\) لمعدل المجتمع \(\mu\)؟

الحل:

لحل السؤال، نقوم بحساب فترة الثقة المطلوبة باستخدام المعادلة التالية:

\(T=\frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n})}\)

بما أن \(1-\alpha = 0.95\) إذاً \(\frac{\alpha}{2}=0.025\) ومن جدول التوزيع t بدرجات حرية 6 نجد أن \(t_{0.025}=2.447\)، ومنه تكون فترة الثقة \(\%95\) للوسط \(\mu\) هي:

\(11.2-2.447\times \frac{0.4}{\sqrt{7}}<\mu<11.2+2.447\times \frac{0.4}{\sqrt{7}}\)

أي أن الفترة المطلوبة هي:

\(10.83<\mu<11.57\) 

مثال (8)

كانت محتويات 10 عبوات من المنظفات كالآتي:

10.5 , 9.7, 10, 9.6, 10.2, 9.8, 9.9, 10.2, 10.1

أوجد فترة ثقة 99% لوسط محتويات العبوات لذلك النوع من المنظفات، على افتراض أن محتويات العبوات يخضع للتوزيع الطبيعي؟

الحل:

في هذه الحالة، سنحتاج الى حساب وسط محتويات العبوات \(\bar{x} \) والانحراف المعياري لتلك المحتويات \(s\) للعينة التي تم اعطاءها. وعليه تكون

 \(\bar{x}=\frac{10.5 + 9.7+ 10+ 9.6+ 10.2+ 9.8+ 9.9+ 10.2+ 10.1}{9}\)

أي أن \(\bar{x}=10\) أي 10 لترات.

ولحساب تباين العبوات التسعة للعينة نستخدم قانون التباين للعينات وهو

\(s^{2}=\frac{\sum (x-\bar{x})^{2}}{n-1}\)

وبتطبيق قانون التباين على تلك العينات نحصل على

 \(s^{2}=\frac{(10.5)^{2}+(9.7)^{2}+(10)^{2}+(9.6)^{2}+(10.2)^{2}+(9.8)^{2}+(9.9)^{2}+(10.2)^{2}+(10.1)^{2}}{8}\)

لنجد أن قيمة التباين \(s^{2}=0.08\)

وبما أن الانحراف المعياري للعينة المطلوبة هو \(s\) إذن 

\(s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{0.08} = 0.28284 \)


وبما أن فترة الثقة المطلوبة هي \(\%99\)، فعليه تكون \(1-\alpha = 0.99\) إذا \(\frac{\alpha}{2}=0.005\) ومن جدول توزيع t نستنتج أن قيمة \(t_{0.005}=3.355\) عند درجة حرية 8.

الآن، نحسب فترة الثقة \(\%99\) المطلوبة هي 

\(10-3.355\times \frac{0.28284}{\sqrt{9}}<\mu<10+3.355\times \frac{0.28284}{\sqrt{9}}\)

فتكون فترة الثقة هي: 

 \(9.6837<\mu<10.3163\) 

 

قائمة المصادر والمراجع References 

1- Walpole, Mayers, Mayers, Probability & Statistics for Engineers and scientists, sixth Edition, 1998.

2- Medenhall, W, Introdution to Probability and Statistics, Duxbury press, 1983.

google-playkhamsatmostaqltradent